זהויות 2: זוויות שסכומן 90 מעלות – sin(90 − x) = cos xטריגונומטריה 571 · שיעור 39
טריגונומטריה · שאלון 571
שיעור 38 – זהויות 2: זוויות שסכומן 90 מעלות – sin(90 − x) = cos x
פרק 6 – זהויות טריגונומטריות
1נוסח השאלה
2סעיף א – ההוכחה
3סעיף ב – sin 65
4סעיף ג – cos∢B ואורך BC
📄 נוסח השאלה
א. במשולש ישר זווית ABC הזווית ∢C ישרה. הוכיחו כי sin∢A = cos∢B.
ב. נתון: cos 25 ≈ 0.9063. מצאו את sin 65 בלי לחשב את הסינוס במחשבון.
ג. במשולש ישר זווית ABC (∢C = 90) נתון: AB = 12 , sin∢A = 0.4. מצאו את cos∢B ואת אורך הצלע BC.
סעיף א – ההוכחה
הצלע BC היא ניצב מול הזווית ∢A, ו־AB יתר:
sin∢A = BCAB
📐 סינוס במשולש ישר זווית
אותה צלע BC היא ניצב ליד הזווית ∢B:
cos∢B = BCAB
📐 קוסינוס במשולש ישר זווית
שני הביטויים שווים לאותו שבר, ולכן:
sin∢A = cos∢B
📐 סינוס במשולש ישר זווית
sin = ניצב מול הזוויתיתר
📐 קוסינוס במשולש ישר זווית
cos = ניצב ליד הזוויתיתר
סעיף א – ההוכחה · המשך
sin∢A = cos∢B
במשולש ישר זווית שתי הזוויות החדות משלימות ל־90:
∢A + ∢B = 90 ⇒ ∢B = 90 − ∢A
📐 סכום זוויות במשולש
ולכן קיבלנו את הזהות:
לכל זווית x:
📐 זוויות משלימות ל־90 מעלות
ובאותה דרך:
📐 זוויות משלימות ל־90 מעלות
📐 סכום זוויות במשולש
180 מעלות
📐 זוויות משלימות ל־90 מעלות
sin(90 − x) = cos x
📐 זוויות משלימות ל־90 מעלות
cos(90 − x) = sin x
סעיף א – ההוכחה · המשך
ובאותה דרך:
📐 זוויות משלימות ל־90 מעלות
✅ פתרון סופי: sin∢A = cos∢B ✓
📐 זוויות משלימות ל־90 מעלות
cos(90 − x) = sin x
סעיף ב – sin 65
הזוויות 65 ו־25 משלימות ל־90 (65 + 25 = 90):
sin 65 = sin(90 − 25) = cos 25
📐 זוויות משלימות ל־90 מעלות
sin 65 ≈ 0.9063
בדיקה: במחשבון sin 65 = נותן 0.9063 ✓
✅ פתרון סופי: sin 65 ≈ 0.9063
📐 זוויות משלימות ל־90 מעלות
sin(90 − x) = cos x
סעיף ג – cos∢B ואורך BC
לפי סעיף א:
cos∢B = sin∢A = 0.4
📐 זוויות משלימות ל־90 מעלות
הצלע BC היא ניצב ליד ∢B, ו־AB יתר:
cos∢B = BCAB
📐 קוסינוס במשולש ישר זווית
נציב cos∢B = 0.4 ו־AB = 12:
0.4 = BC12
📐 זוויות משלימות ל־90 מעלות
sin(90 − x) = cos x
📐 קוסינוס במשולש ישר זווית
cos = ניצב ליד הזוויתיתר
סעיף ג – cos∢B ואורך BC · המשך
0.4 = BC12
BC = 12 · 0.4 = 4.8
✅ פתרון סופי: cos∢B = 0.4 , BC = 4.8
📌 סיכום התשובות
סעיף א
sin∢A = cos∢B
סעיף ב
sin 65 ≈ 0.9063
סעיף ג
cos∢B = 0.4 , BC = 4.8
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא